2. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 deAgosto de 2008Problema 2 (Ref: Pg. 223 - Ej. 9) La vida media deuna mquina para hacer pasta es de siete aos, con una desviacinestndar de un ao. Suponga que las vidas de estas mquinas siguenaproximadamente una distribucin normal, encuentre: a) Laprobabilidad de que la vida media de una muestra aleatoria de nuevede estas mquinas caiga entre 6.4 y 7.2 aos; b) El valor de x a laderecha del cual caera el 15% de las medias calculadas de muestrasaleatorias de tamao nueve. Datos: Variable aleatoria Mediapoblacional Desviacin estndar poblacional Tamao de la muestraX:vida til de una mquina de hacer pasta (en aos). x = 7 aos. x = 1ao. n = 9 mquinas.X N( x , x ) x = x = 7 (aos) 1 1 x = x = = (aos) n 9 3a) Incgnita: P(6.4 x 7.2) Solucin: 6.4 7 X x 7.2 7 P = P(1.8 z 0.6 ) = P( z 0.6 ) P( z 1.8) = x 1 13 3 n Aplicando TablaA.3. = 0.7257 0.0359 = 0.6898 = 68.98%. Respuesta: La probabilidadde que la vida media de una muestra de 9 de esas mquinas caigaentre 6.4 aos y 7.2 aos es del 68.98%. b) Incgnita: Un valor de xque deje a su derecha un rea del 15% y por lo tanto un rea del 85%a su izquierda. Solucin: Con x = 7 aos y = 1 0.15 = 0.85 __Z = Z0.85 = 1.04 Z 0.85_ x 7 1 = (1.04) * + 7 = x = 7.346667 Aos 1 3 3x= 7.35 aosLafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 2 de 1043. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agostode 2008Respuesta: El valor de x que deja a su derecha un rea del15% es 7.35 aos. Problema 3 (Ref: Pg. 223/224 - Ej. 10) El tiempoque el cajero de un banco con servicio en el automvil atiende a uncliente es una variable aleatoria con media = 3.2 minutos y unadesviacin estndar = 1.6 minutos. Si se observa una muestraaleatoria de 64 clientes, encuentre la probabilidad de que sutiempo medio con el cajero sea: a) a lo ms 2.7 minutos; b) ms de3.5 minutos; c) al menos 3.2 minutos pero menos de 3.4 minutos.Datos: Variable aleatoria Media poblacional Desviacin estndarpoblacional Tamao de la muestraX: tiempo que un cajero atiende a uncliente (en minutos). x = 3.2 minutos. x = 1.6 minutos. n = 64clientes.X N( x , x ) x = x = 3.2 (aos) x =x n=1.6 64=1 .6 (aos )8a) Incgnita: P( x 2.7) Solucin: X x 2.7 3.2 P = P( z 2.5) =Aplicando Tabla A.3. = 0.0062 = 0.62% 1.6 x 8 n Respuesta: Laprobabilidad de que el tiempo promedio de los cliente con el cajerosea a lo ms 2.7 minutos es de 0.62%. b) Incgnita: P( x > 3.5)Solucin: X x 3.5 3.2 P > = P( z >1.5) =1 P( z .5) =1 0.9332 =Aplicando Tabla A.3. = 0.0668 = 1.6 x n 64 6.68%. Respuesta: Laprobabilidad de que el tiempo promedio de los cliente con el cajerosea ms 3.5 minutos es de 6.68%. c) Incgnita: P(3.2 x 3.4) Solucin:3.2 3.2 X x 3.4 3.2 P = P( 0 z 1) = P( z 1) P( z 0 ) = x 1.6 1.6 64n 64 Aplicando Tabla A.3 = 0.8413 0.5000 = 0.3413 = 34.13%. LafataDesio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 3 de 104 4. Ctedra:Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de2008Respuesta: La probabilidad de que el tiempo promedio de loscliente con el cajero este entre 3.2 y 3.4 minutos es de 34.13%.Problema 4 (Ref: Pg. 224 - Ej. 12) Se toma una muestra aleatoria detamao 25 de una poblacin normal que tiene una media de 80 y unadesviacin estndar de 5. Una segunda muestra aleatoria de tamao 36se toma de una poblacin normal diferente que tiene una media de 75y una desviacin estndar de 3. Encuentre la probabilidad de que lamedia muestral calculada de las 25 mediciones exceda de mediamuestral calculada de las 36 mediciones por al menos 3.4 pero enmenos de 5.9. Suponga que las medias se miden al dcimo ms cercano.Datos: Tamao de la primer muestra Media de la primer poblacin(n1 =25.)1= 80.Desviacin estndar de la primer poblacinn2 = 36.Media dela segunda poblacin x1 =1 = 5.Tamao de la segunda muestraX 1 N x1, x1 x1 = x1 = 802= 75.(x1n1=5 25=1)X 2 N x 2 , x 2 x 2 = x 2 =75 x2 =Desviacin estndar de la segunda poblacin 2 = 3.x2n2=3 36=12Incgnita: P( 3.4 ( X1 X 2 ) 5.9 ) Solucin: Utilizando el Teorema8.3; el que dice: Si se extraen al azar muestras independientes detamao n 1 y n 2 de dos poblaciones, discreta o continuas, 2 conmedias 1 y 2 y varianzas 1 y 2 , respectivamente, entonces ladistribucin muestral de las 2 diferencias de las medias, X 1 X 2 ,est distribuida aproximadamente de forma normal con media yvarianza dadas por x1 - x1 = 1 2 21 - x 2 = xy2 1 2 + 2. n1 n 2DeaquZ=(X X ) ( ( n ) + ( 122 1112 2 2 ) n2 )es aproximadamente unavariable normal estndar. con nuestros datos:Lafata Desio Fernando,Warlet Ivn LautaroPgina 4 de 104 5. Ctedra: Probabilidad yEstadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008 x1 - x 2 = 80 75= 5 x1 - x 2 =y25 9 + = 1.118 25 36 3.4 X X 5 5 1 2 1 2 5.9 =P( P3.4 X1 X 2 5.9 =P 1.4311 z 0.8050 ) = 1.118034 1.118034 2 2 1 2 + nn 1 2 (())() ()= P(z 0.8050) P( z 1.4311) =Aplicando Tabla A.3. =0.7896 0.0762 = 0.7134 = 71.34%.Respuesta: La probabilidad de quela media muestral calculada de las 25 mediciones exceda de mediamuestral calculada de las 36 mediciones por al menos 3.4 pero enmenos de 5.9 es de 71.34%.Problema 5 (Ref: Pg. 236 - Ej. 1) LafataDesio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 5 de 104 6. Ctedra:Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de2008Para una distribucin ji cuadrada encuentre. 2 a) 0.025 cuando =15; 2 b) 0.01 cuando = 7; 2 c) 0.05 cuando = 24.2 a) Segn Tabla A.50.025 cuando = 15 => 27.488Respuesta: El valor 2 con 15 gradosde libertad, que deja un rea de 0.025 a su derecha es 27.488.Grfica:Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 6 de 104 7.Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de20082 b) Segn Tabla A.5 0.01 cuando = 7 => 18.475Respuesta: Elvalor 2 con 7 grados de libertad, que deja un rea de 0.01 a suderecha es 18.475. Grfica:2 c) Segn Tabla A.5 0.05 cuando = 24=> 36.415Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 7 de 1048. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agostode 2008Respuesta: El valor 2 con 24 grados de libertad, que deja unrea de 0.05 a su derecha es 36.415. Grfica:Problema 6 (Ref: Pg. 236- Ej. 3) Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 8 de 104 9.Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de20082 Para una distribucin ji cuadrada encuentre tal que: 2 a) P(2> ) = 0.99 cuando = 4; 2 b) P(2 > ) = 0.025 cuando = 19; 2 c)P(37.652 ) = 0.99cuando = 4 2 Segn Tabla A.5 => = 0.297Respuesta: El valor de 2que deja a su derecha una probabilidad igual a 0.99 es decir 99 %,con 4 grados de libertad es 0.297.2 b) P(2 > ) = 0.025 cuando =19Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 9 de 104 10.Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de20082 Segn Tabla A.5 => = 32.852Respuesta: El valor de 2 quedeja a su derecha una probabilidad igual a 0.025 es decir 2.5 %,con 19 grados de libertad es 32.852. Grfica:Lafata Desio Fernando,Warlet Ivn LautaroPgina 10 de 104 11. Ctedra: Probabilidad yEstadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 20082 c) P(37.652 = 37.652 => = 0.05 22 =>= 0.05 - 0.045 = 0.005 => = 0.005 cuando = 25 2Segn Tabla A. 5=> 0.005 = 46.928 Respuesta: El valor de 2 debe ser igual a46.928 para que la probabilidad entre 37.652 y dicho valorcalculado sea igual a 0.045, es decir 4.5%, con 25 grados delibertad. Grfica:Problema 7 (Ref: Pg. 236 Ej. 5) Lafata DesioFernando, Warlet Ivn LautaroPgina 11 de 104 12. Ctedra:Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de2008Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25observaciones, de una poblacin normal con varianza 2 = 6, tenga unavarianza s2 a) mayor que 9.1; b) entre 3.462 y 10.745. Suponga quelas varianzas muestrales son mediciones continuas. Datos: Tamao dela muestra Varianza de la muestran = 25 observaciones. 2 = 6.a)Incgnita: P (s2 > 9.1) Solucin:2( n 1) s 2 = 2con (n 1) gradosde libertadcon nuestros datos: ( 25 1)( 9.1) = ( 24)( 9.1) = 218.4= 36.4 2 = 6 6 6 Segn Tabla A.5 2 = 36.4 cuando = 24 =>0.05Respuesta: La probabilidad de que la varianza de esa muestra seamayor que 9.1 es del 5%. b) Incgnita: P (3.462 s2 10.745) Solucin:2=( n 1)s 2 2con (n 1) grados de libertadcon nuestros datos: ( 251)( 3.462) = 24 3.462 = 83.088 = 13.848 2 = 6 6 6 2 =13.848 cuando= 24 =>0.95 Segn Tabla A.52 =( 25 1) 10.745 = 24 10.745 = 257.88= 42.986 6 6 Segn Tabla A.5 2 = 42.98 cuando = 24 =>0.01P (3.462s2 10.745) = 0.95 0.01 = 0.94 Respuesta: La probabilidad de que lavarianza de esa muestra se encuentre entre 3.462 y 10.745 es del94%. Problema 8 (Ref: Pg. 236 Ej. 6) Lafata Desio Fernando, WarletIvn LautaroPgina 12 de 104 13. Ctedra: Probabilidad y EstadsticaUADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Las clasificaciones de unexamen de colocacin que se aplic a estudiantes de primer ao delicenciatura durante los ltimos cinco aos estn aproximadamentedistribuidas de forma normal con una media = 74 y una varianza 2 =8. Considerara an que 2 =8 es un valor vlido de la varianza si unamuestra aleatoria de 20 estudiantes que realizan este examen decolocacin este ao obtienen un valor de s2 = 20? Datos: P:estudiantes de primer ao de licenciatura. X: calificacin de unexamen de colocacin. Media poblacional Varianza poblacional Tamaode la muestra Varianza muestralx = 74. 2 = 8. x n = 20 estudiantes.s2 = 20.(X N x = 74, x = 8)Incgnita: Considerar si es vlida 2 = 8x Solucin:2 =( n 1)s 2 2con (n 1) grados de libertadcon nuestrosdatos2 =( 20 1)( 20) = (19)( 20) = 380 = 47.5 82 0..975 = 8.9078820.025 = 32.852Respuesta: Es un valor de una distribucin ji cuadradacon 19 grados de libertad. Como 95% de los valores 2 con 19 gradosde libertad caen entre 8.907 y 32.852, el valor calculado con 2 = 8no es razonable y por lo tanto se tiene razn suficiente parasospechar que la varianza es diferente a ocho. Es muy probable queel valor supuesto de 2 sea un error.Problema 9 (Ref: Pg. 236 Ej. 8)Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 13 de 104 14.Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de2008a) Encuentre t0.025 cuando =14; b) Encuentre t0.10 cuando = 10;c) Encuentre t0.995 cuando =7. a) Segn Tabla A.4 t0.025 cuando =14=> 2.145 Respuesta: El valor t con 14 grados de libertad, quedeja un rea de 0.025 a su derecha es 2.145. Grfica:b) Segn TablaA.4 t0.10 cuando = 10 => -1.372 Lafata Desio Fernando, WarletIvn LautaroPgina 14 de 104 15. Ctedra: Probabilidad y EstadsticaUADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Respuesta: El valor t con 10grados de libertad, que deja un rea de 0.10 a su izquierda es-1.372. Grfica:Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 15 de104 16. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 deAgosto de 2008c) Segn Tabla A.4 t0.995 cuando =7 => -3.499Respuesta: El valor t con 7 grados de libertad, que deja un rea de0.995 a su derecha y por lo tanto un rea de 0.005 a su izquierda es-3.499. Grfica:Problema 10 (Ref: Pg. 236 Ej. 9) Lafata DesioFernando, Warlet Ivn LautaroPgina 16 de 104 17. Ctedra:Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008a)Encuentre P(T 1.318)cuando = 24; c) Encuentre P(-1.356 = 1 0.025 = 0.975 Respuesta: La probabilidad de que un valort sea menor que 2.365 con 7 grados de libertad es del 97.5%.Grfica:Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 17 de 104 18.Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de2008b) P(T > 1.318) cuando = 24 Segn Tabla A.4 =>0.10Respuesta: La probabilidad de que un valor t sea mayor que 1.318con 24 grados de libertad es del 10%. Grfica:Lafata Desio Fernando,Warlet Ivn LautaroPgina 18 de 104 19. Ctedra: Probabilidad yEstadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008c) P(-1.356 = (1 0.10) 0.025 = = 0.90 0.025 = 0.875 Respuesta: Laprobabilidad de que un valor t se encuentre entre -1.356 y 2.179con 12 grados de libertad es del 87.5%. Grfica:Lafata DesioFernando, Warlet Ivn LautaroPgina 19 de 104 20. Ctedra:Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008d)P(T > -2.567) cuando =17 1 P( T > 2.567) cuando =17 SegnTabla A.4 => = 1 0.01 = 0.99 Respuesta: La probabilidad de queun valor t sea mayor que -2.567 con 17 grados de libertad es del99%. Grfica:Problema 11 (Ref: Pg. 236 Ej. 12) Lafata DesioFernando, Warlet Ivn LautaroPgina 20 de 104 21. Ctedra:Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Unaempresa manufacturera afirma que las bateras que utiliza en susjuegos electrnicos duran un promedio de 30 horas. Para mantenereste promedio se prueban 16 bateras cada mes. Si el valor t que secalcula cae entre t0.025 y t0.025, la empresa queda satisfecha consu afirmacin.Qu conclusiones extraera la empresa de una muestra quetiene una media de x = 27.5 horas y una desviacin estndar de s = 5horas? Suponga que la distribucin de las duraciones de las baterases aproximadamente normal. Datos: P: bateras de juegos electrnicos.X: rendimiento en horas de una bajara de juegos electrnicos. Mediapoblacional x = 30 horas. Tamao de la muestra n = 16 bateras. Mediamuestral x = 27.5 horas. Desviacin estndar muestral s = 5 horas.Solucin: De la tabla A.4 encontramos que t0.025 = 2.131 para 15grados de libertad. Por tanto, la empresa queda satisfecha con estaafirmacin si una muestra de 16 bateras rinde un valor t entre 2.131y 2.131. si = 30, entoncesT=X con (n 1) grados de libertad s nConnuestros datos: T=27.5 30 516= , 2Respuesta: La empresa estarasatisfecha con su afirmacin ya que el valor hallado de t perteneceal intervalo establecido como parmetro para poder afirmar que susbateras promedian las 30 horas de duracin.Problema 12 (Ref: Pg. 236Ej. 13) Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 21 de 10422. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 deAgosto de 2008Una poblacin normal con varianza desconocida tieneuna media de 20. Se tiene posibilidad de obtener una muestraaleatoria de tamao 9 de esta poblacin con una media de 24 y unadesviacin estndar de 4.1? Si no, qu conclusin sacara? Datos: Mediapoblacional Tamao de la muestra Media muestral Desviacin estndarmuestralx = 20. n = 9. x = 24. s = 4.1.Solucin:T=X con (n 1) gradosde libertad s ncon nuestros datos: P ( X - = X - 20 > 4) = = 1 P( X - 20 4) = = 1 P (-4 X - 20 4) = 4 4 X 20 =1P = 4.1 4.1 3 3 = 1P (-2.92 t8 2.92) = = P (t8 2.92) P (t8 2.92) = 0.00959 + 0.00959 =0.01918 = 1.918%. Respuesta: Si se tiene la posibilidad de obteneruna muestra de tamao 9 con esas condiciones, con una probabilidaddel 1.918%Problema 13 (Ref: Pg. 236 Ej. 14) Lafata Desio Fernando,Warlet Ivn LautaroPgina 22 de 104 23. Ctedra: Probabilidad yEstadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Un fabricante decierta marca de barras de cereal bajo de grasa afirma que sucontenido promedio de grasa saturada es 0.5 gramos. En una muestraaleatoria de 8 barras de cereal de esta marca el contenido de grasasaturada fue 0.6, 0.7, 0.7, 0.3, 0.4, 0.5, 0.4 y 0.2. Estara deacuerdo con la afirmacin? Datos: P: barras de cereal bajo de grasa.X: contenido de grasa en gramos de una barra de cereal. Mediapoblacional x = 0.5 gramos. Tamao de la muestra n = 8. nMediamuestralx=Xii =1n=0.6 + 0.7 + 0.7 + 0.3 + 0.4 + 0.5 + 0.4 + 0.2 3.8= = 0.475 gramos 8 8 nDesviacin estndar muestrali =1i X)2n 1( 0.60.475) 2 +(0.7 0.475) 2 +(0.7 0.475) 2 +(0.30.475) 2 +(0.4 0.475) 2+(0.5 0.475) 2 +(0.4 0.475) 2 +(0.2 0.475s= =s= (X7( 0.125) 2 + (0.225) 2 + ( 0.225) 2 + ( 0.175) 2 + ( 0.075) 2 + ( 0.025) 2 + (0.075) 2 + ( 0.275) 2 = 70.26 = 7Incgnita: x = 0.5 Solucin:T=X con(n 1) grados de libertad s ncon nuestros datos T=0.475 0.5 = 0.38600.1832 8 X X 0 P s s n n con nuestros datos P(-0.3860 t7 0.3860) =0.3754 + 0.3754 = 0.7508 = 75.08%. Respuesta: Hay razonessuficiente (75,08%) para considerar que la afirmacin es cierta.Problema 14 (Ref: Pg. 236 Ej. 15) Para una distribucin F encuentre:a) 0.05 con 1 = 7 y 2 = 15; Lafata Desio Fernando, Warlet IvnLautaroPgina 23 de 1040.037 0.18 24. Ctedra: Probabilidad yEstadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008b) 0.05 con 1 = 15y 2 = 7; c) 0.01 con 1 = 24 y 2 = 19; d) 0.95 con 1 = 19 y 2 = 24;e) 0.99 con 1 = 28 y 2 = 12. a) Segn Tabla A.6 0.05 con 1 = 7 y 2 =15 => 2.71 Respuesta: El valor f con 7 y 15 grados de libertad,que deja un rea de 0.05 a su derecha es 2.71. Grfica:b) Segn TablaA.6 0.05 con 1 = 15 y 2 = 7 => 3.51Lafata Desio Fernando, WarletIvn LautaroPgina 24 de 104 25. Ctedra: Probabilidad y EstadsticaUADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Respuesta: El valor f con 15y 7 grados de libertad, que deja un rea de 0.05 a su derecha es3.51. Grfica:c) Segn Tabla A.6 0.01 con 1 = 24 y 2 = 19 =>2.92Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 25 de 104 26.Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de2008Respuesta: El valor f con 24 y 19 grados de libertad, que dejaun rea de 0.01 a su derecha es 2.92. Grfica:d) 0.95 con 1 = 19 y 2= 241 Lafata Desio Fernando, Warlet 2 , Lautaro f ( Ivn 1 ) f 1 (1, 2 ) =Pgina 26 de 104 27. Ctedra: Probabilidad y EstadsticaUADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008con nuestros datos f 0.95(19,24) =1 1 = = 0.4739 f 0.05 ( 24,19 ) 2.11Respuesta: El valor fcon 19 y 24 grados de libertad, que deja un rea de 0.95 a suderecha es 0.4739. Grfica:e) 0.99 con 1 = 28 y 2 = 12Lafata DesioFernando, Warlet Ivn LautaroPgina 27 de 104 28. Ctedra:Probabilidad y Estadstica UADERf 1 ( 1, 2 ) =Trabajo Final 6 deAgosto de 20081 f ( 2 , 1 )con nuestros datos f 0.99 ( 28,12 ) =1 1= = 0.3448 f 0.01 (12,28) 2.90Respuesta: El valor f con 28 y 12grados de libertad, que deja un rea de 0.99 a su derecha es0.3448.Grfica:Problema 15 (Ref: Pg. 237 Ej. 5) Una muestraaleatoria de cinco presidentes de bancos indican salarios anualesde $163000, $148000, $152000, $135000 y $141000. Encuentre lavarianza de este conjunto. Lafata Desio Fernando, Warlet IvnLautaroPgina 28 de 104 29. Ctedra: Probabilidad y EstadsticaUADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Datos: Variable aleatoriaTamao de la muestraX: salarios anuales de presidentes de bancos (enpesos) n = 5 presidentes. nMedia muestralx=Xii =1n163000 + 148000 +152000 + 135000 + 141000 739000 = = = 147800 $ 5 5Incgnita:Varianza muestral s2 Solucin:(X ns2 =i =1iX)2n 1con nuestrosdatoss2 = =(163000 147800) 2 + (148000 147800) 2 + (152000 147800)2 + (135000 147800) 2 + (141000 147800) 2(15200 ) 2 + ( 200) 2 + (4200) 2 + ( 12800) 2 + ( 6800) 2 44 458800000 = = 114700000 $4Respuesta: La varianza de este conjunto es 114700000 $.Problema 16(Ref: Pg. 237 Ej. 9)Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina29 de 104= 30. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final6 de Agosto de 2008Si S21 y S22 representan las varianzas demuestras aleatorias independientes de tamao n 1 = 25 y n2 = 31,tomadas de poblaciones normales con varianzas 21 = 10 y 22 = 15,respectivamente, encuentre 2 P S 1 S 2 > 1.26 . 2()Datos: Tamaode la primer muestra Tamao de la segunda muestra Varianza de laprimera muestran1 = 25. n2 = 31.Varianza de la segunda muestra 2 =15 . 2Incgnita:(2 P S1 S 2 > 1.26 22 1 =10 .)Solucin: Utilizandoel Teorema 8.8; el que dice: 2 Si s1 y s 2 son las varianzas demuestras aleatorias independientes de tamao n 1 y n 2 tomadas de 22 poblaciones normales con varianzas 1 y 2 , respectivamente,entonces 22 2 s1 2 s1 2 2 F= 2 2 = 2 2 2 1 s 2 s 2 1Tiene unadistribucin F con 1 = n1 1 y 2 = n2 1 grados de libertad.connuestros datos s12 P = 2 > 1.26 = s 2 s12 2 1 ( 15) * ( 1.26) P2 > = P( F > 1.89) 0.05 = 5%. s2 10 2 2 F0.05(24, 30) = 1.89Respuesta: La probabilidad de que F con 24 y 30 grados de libertadsea mayor que 1.26 es de 0.05, es decir, 5%.Lafata Desio Fernando,Warlet Ivn LautaroPgina 30 de 104 31. Ctedra: Probabilidad yEstadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Problema 17 (Ref:Pg. 251 Ej. 4) Una empresa elctrica fabrica focos que tienen unaduracin aproximadamente distribuida de forma normal con unadesviacin estndar de 40 horas. Si una muestra de 30 focos tiene unaduracin promedio de 780 horas, encuentre un intervalo de confianzade 96 % para la media de la poblacin de todos los focos que produceesta empresa. Datos: P: focos fabricados por la empresa. X: duracinde esa muestra de focos. Desviacin estndar poblacional x = 40horas. Tamao de la muestra n = 30 focos. Media muestral x = 780horas. Intervalo de confianza IC = 96%.X N( x = 780, x = 40)Incgnita: Intervalo de confianza para la media poblacional, x, con96% de confianza. Solucin:X z 1 2n X + z 1 2n100% =100(1-)% = 96%=> = 0.04 => z1 2 => z0.98 = 2.054 con nuestros datos 780( 2.054 )40 30 x 780 + ( 2.054)40 30765 hs. x 795 hs. Respuesta:Podemos afirmar con un nivel de confianza del 96% que la mediapoblacional se encuentra entre 765 y 795 horas.Problema 18 (Ref:Pg. 252 Ej. 8) Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 31 de104 32. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 deAgosto de 2008De que tamao se necesita una muestra en el ejercicio4 si deseamos tener 96% de confianza que nuestra media muestral estdentro de 10 horas de la media real? Datos: Desviacin estndarpoblacional x = 40 horas. Media muestral x = 780 horas. Intervalode confianza IC = 96%. Intervalo de error e = 10 horas.n + 2 z 1 2n e con nuestros datos n + 2 2.054.40 n = 67.5 n = 68 10 Respuesta:Por lo tanto, podemos tener una confianza 96% de que una muestraaleatoria de tamao 68 proporcionara una estimacin x que difiere depor una cantidad menor que 0.04.Problema 19 (Ref: Pg. 252 Ej.6)Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 32 de 104 33.Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de2008Las estaturas de una muestra aleatoria de 50 estudiantesuniversitarios muestra una media de 174.5 centmetros y unadesviacin estndar de 6.9 centmetros. a) Construya un intervalo deconfianza de 98% para la estatura media de todos los estudiantes dela universidad; b) Qu podemos afirmar con 98% de confianza sobre eltamao posible de nuestro error si estimamos que la estatura mediade todos los estudiantes de la universidad de 174.5 centmetros?.Datos: P: estudiantes universitarios. Variable aleatoria Tamao dela muestra Media muestral Desviacin estndar muestral Intervalo deconfianzaX: medidas de esos estudiantes universitarios (encentmetros) n = 50 estudiantes. x = 174.5 centmetros. s = 6.9centmetros. IC = 98%.100% =100(1-)% = 98% => = 0.02 => 2 =0.01t49, 0.01 = 2.4048 a) Incgnita: Intervalo de confianza para lamedia poblacional, x, con 98% de confianza. Solucin: X t 2s s X + t2 n ncon nuestros datos 174.5 ( 2.4048)6.9 174.5 + ( 2.4048)50172.15 cm. 176.85 cm.6.9 50Respuesta: Podemos afirmar con 98% deconfianza que la media poblacional se encuentra entre 172.15 y176.85 centmetros. b) Incgnita: Posible error de estimacin.Solucin: = X - =174.5 172.15 = .35 2cm.Respuesta: Podemos afirmarcon 98% de confianza que el error de estimacin es igual a 2.35 cm.Problema 20(Ref: Pg. 252 Ej. 13) Lafata Desio Fernando, Warlet IvnLautaroPgina 33 de 104 34. Ctedra: Probabilidad y EstadsticaUADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Una mquina produce piezasmetlicas de forma cilndrica. Se toma una muestra de las piezas ylos dimetros son 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 y1.03 centmetros. Encuentre un intervalo de confianza de 99% para eldimetro medio de las piezas de esta mquina, suponga una distribucinaproximadamente normal. Datos: P: piezas metlicas de formacilndricas. X: dimetro de las piezas cilndricas(en centmetros).Tamao de la muestra n = 9 piezas. Intervalo de confianza IC = 99%.nMedia muestralx=Xii =1=n1.01 + 0.97 + 1.03 + 1.04 + 0.99 + 0.98 +0.99 + 1.01 + 1.03 = 1.0055 9cm. nDesviacin estndar muestrals= =s=(X i =1i X)2n 1(1.01 1.0055) 2 + (0.97 1.0055) 2 + (1.03 1.0055) 2+ (1.04 1.0055) 2 + (0.99 1.0055) 2 + (0.98 1.0055) 2 + (0 8(0.0045)2 + (0.0355)2 + ( 0.0245)2 + (0.0345)2 + ( 0.0155)2 + (0.0255)2 + (0.0155)2 + ( 0.0045)2 + ( 0.0245) 2 8100% =100(1-)% =99% => = 0.01 => 2 = 0.005t8, 0.005 = 3.355 Incgnita:Intervalo de confianza para la media poblacional, x, con 99% deconfianza. Solucin: X t 2s s X + t 2 n ncon nuestros datos 1.0055 (3.355)0.0245 0.0245 1.0055 + ( 3.355) 9 90.9781 cm. 1.0329cm.Respuesta: Podemos afirmar con 99% de confianza que la mediapoblacional se encuentra entre 0.9781 y 1.0329 centmetros.LafataDesio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 34 de 104 35. Ctedra:Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de2008Problema 21 (Ref: Pg. 252/253 Ej. 17) Una muestra aleatoria de25 botellas de aspirinas contiene, en promedio, 325.05 mg. deaspirina con una desviacin estndar de 0.5. Encuentre los lmites detolerancia del 95% que contendrn 90% del contenido de aspirina paraesta marca. Suponga que el contenido de aspirina se distribuyenormalmente. Datos: P: botellas de aspirinas. X: cantidad deaspirina que contienen las botellas de aspirina (en miligramos).Tamao de la muestra n = 25 botellas de aspirina. Media muestral x =325.05 mg. de aspirina. Desviacin estndar muestral s = 0.5 mg. deaspirina. 1 = 95% => = 0.05 y 1 = 90% => 0.9 Segn Tabla A.7=> k = 2.208 Incgnita: Limites de tolerancia del 95% quecontendrn 90% de aspirina. Solucin:x ks con nuestros datos 325.052.208.0.5 = [323.946 ; 326.154]mg. Respuesta: Los lmites detolerancia del 95% que contendrn 90% de aspirina para esta marcason 323.946 mg y 326.154 mg,Lafata Desio Fernando, Warlet IvnLautaroPgina 35 de 104 36. Ctedra: Probabilidad y EstadsticaUADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Problema 22 (Ref: Pg. 262 Ej.1) Una muestra aleatoria de tamao n1 = 25 que se toma de unapoblacin normal con una desviacin estndar 1 = 5 tiene una media x 1= 80. Una segunda muestra aleatoria de tamao n2 = 36, que se tomade una poblacin normal diferente con una desviacin estndar 2 = 3,tiene una media x 2 = 75. Encuentre un intervalo de confianza de95% para 1 - 2. Datos: Tamao de la primer muestra Desviacin estndarde la primer poblacin Media de la primer muestran1 = 25. 1 = 5. x 1= 80.P1 X 1 N x1 = 80, x1 = 5Tamao de la segunda muestra n2 = 36.Desviacin estndar de la segunda poblacin 2 = 3. x 2 = 75. Media dela segunda muestraP2 X 2 N x 2 = 75, x 2 = 3()()Intervalo deconfianza IC = 95% para 1 2 100(1-)% = 95% => = 0.05 => z1 2=> z0.025 = 1.96 Aplicando Tabla A.3 Incgnita: Intervalo deconfianza para la diferencia de las medias poblacionales, 1 2, con95% de confianza. Solucin: x1 x 2 = 1 2 x1 x 2 =y2 1 2 + 2 n1 n2con nuestro datos x1 x 2 = 80 75 = 5( x1 x 2 ) z 2.y x 1 x 2 =25 9+ = 25 365 = 1.25 1.118 42 1 2 2 2 + 2 = 0.05 => t 2 Aplicando Tabla A.4 t0.025 = 2.07892 con= 21.18 grados de libertad. Incgnita: Intervalo de confianza parala diferencia de las medias poblacionales, 1 2, con 95% deconfianza. Solucin:( x1 x 2 ) t 2 (s122 2 s1 s 2 s1 s 2 + 2 = 0.01 => t 2 Aplicando Tabla A.4 t0.005= 2.763 con (n1 + n2 2) = 28 grados de libertad. Incgnita:Intervalo de confianza para la diferencia de las mediaspoblacionales, 2 1 , con 99% de confianza. Solucin: x 2 x1 = 2 1 x2 x1 =y1 1 + n 2 n1con nuestros datos x 2 x1 = 19 17 = 2s2 = py x 2x1 =1 1 + = 0,1339 0.3659 14 16( n 1 1) * ( s12 ) + ( n 2 1) * ( s2 ) 2 n1 + n 2 2con nuestros datos Lafata Desio Fernando, WarletIvn LautaroPgina 38 de 104 39. Ctedra: Probabilidad y EstadsticaUADERs2 = p(14 1) * (1.5) + (16 1) * (1.8) 14 +16 2Trabajo Final 6de Agosto de 2008= 1.6607 s p 1.2886luego,( x 2 x1 ) t 2sp1 1 1 1 + =0.04 => z1 2 => z0.982.054 a) Incgnita: Intervalo de confianza de 96% para la fraccin dela poblacin que favorece el convenio. Solucin: p*q = n p z * 2(0.57 ) * ( 0.43) 200=0.2451 = 0,0012255 0.035 200 p*q p*q z0.025 1.96 100= 100(1 - )% = 95% => =0.05 => Incgnita: Intervalo deconfianza de 96% para la diferencia de las fracciones de poblacinque favorece el convenio. Solucin: p1 * q 1 p 2 * q 2 + n1 n2 ( p 2p1 ) z 2*con nuestros datos( 0.25) * ( 0.75) + ( 0.275) * ( 0.725)10001000 0.01967 p1 * q 1 p 2 * q 2 p *q p *q + =0.05=> z1 2 => z0.025 1.96 . Proporcin de xitos en 1990 lasmujeres constituan 33,7 % de 20 empleadosa) Incgnita: Estimar elnmero que habran sido mujeres en cada ao. Solucin: En 1990 el 33.7%de 20 n * P = 20 * 0.337 = 6.74 7 mujeres 1 En 1994 el 36.2% de 20n * P2 = 20 * 0.362 = 7.24 7 mujeresRespuesta: Estimamos que en1990 habra sido de 6.74 7 mujeres, y en 1994 la estimacin habrasido de 7.24 7 mujeres. b) Incgnita: Intervalo de confianza de 95%para ver si hay evidencia de que la proporcin de mujerescontratadas como personal editorial en 1994 fue mayor que laproporcin contratada en 1990. Solucin: (P P ) Z 21 /2*(( 0.337 -0.362) (1.96) * ( 0.025) (1.96) *) p1 * q1 p 2 * q 2 + f IC =90%. 2Aplicando Tabla A.6f0.05 = 2.80 con (n1 1, n2 - 1), es decir,con (11, 11) grados de libertad. 2 s12 s2 1 x > 130 p = 0.6) = P( x 130 p = 0.6) = = P(z x >259 p = 0.6) = P( x 259 p =0.6) = =P(z x > 266, cuando p = 0.6) = (2)*P(z x > 209) = (2)*P(z 20000 kilmetros.Incgnita: Rechazo o aceptacin de lahiptesis nula. Solucin: Es conveniente estandarizar X e incluir demanera formal la variable aleatoria normal estndar Z, dondez=z=Xn23500 20000 = 8.97. 3900 / 100P= P(Z > 8.97)1-1 = 0Respuesta:Rechazamos la hiptesis nula y concluimos que 20000Kilmetros.Problema 39 (Ref: Pg. 326 Ej. 7 ligado al Ej. 1 Pg. 339)a) Ref. Pg. 326 Ej. 7 Pruebe la hiptesis de que el contenidopromedio de los envases de un lubricante particular es de 10 litrossi los contenidos de una muestra aleatoria de 10 envases son 10.2,9.7, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9, 10.4, 10.3 y 9.8 litros. Utiliceun nivel de significancia de 0.01 y suponga que la distribucin delcontenido es normal. b) Ref. Pg. 339 Ej.1 Lafata Desio Fernando,Warlet Ivn LautaroPgina 56 de 104 57. Ctedra: Probabilidad yEstadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Se sabe que elvolumen de los envases de un lubricante particular se distribuyenormalmente con una varianza de 0.03 litros. Pruebe la hiptesis deque 2 = 0.03 contra la alternativa de que 2 0.03 para la muestraaleatoria de 10 envases del ejercicio 7 de la pgina 326. Use unnivel de significanca de 0.01. a) Ref. Pg. 326 Ej. 7 Datos: P :envases de un lubricante. X : contenido en litros de un envase deese lubricante. Tamao de la muestra n = 10 envases. nMediamuestralx=Xii =1n10.2 + 9.7 + 10.1 + 10.3 + 10.1 + 9.8 + 9.9 + 10.4+ 10.3 + 9.8 = = 10.06 litros. 10 nDesviacin estndar muestrals= =s=(X i =1i X)2n 1(10.2 10.06 )2 + (9.7 10.06) 2 + (10.1 10.06) 2 +(10.3 10.06) 2 + (10.1 10.06) 2 + (9.8 10.06) 2 + (9.9 10.06 9(0.14)2 + ( 0.36 )2 + ( 0.04 )2 + ( 0.24 )2 + (0.04)2 + ( 0.26 )2 + (0.16 )2 + (0.34)2 + ( 0.24 ) 2 + ( 0.26 )2 9Nivel de significancia= 0.01Hiptesis nula Hiptesis alternativaH0: = 10 litros. H1: 10litros.Incgnita: Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula.Solucin:X t= s n Si t 2 t 0.01, n 12,9t= 0.025 18.13) 4.222)=5 4.2221.1841-1 = 0Respuesta: Rechazamos la hiptesis nula ya que laprobabilidad de que ocurra es aproximadamente del 0%.Problema 41(Ref: Pg. 327 Ej. 18 ligado al Ej. 9 Pg. 340) a)Ref. Pg. 327Ej.18Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 59 de 104 60.Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de2008Una compaa armadora de automviles trata de decidir si comprallantas de la marca A o de la B para sus modelos nuevos. Se lleva acabo un experimento, para ayudar a llegar a una decisin, en el quese usan 12 llantas de cada marca. Las llantas se utilizan hasta quese acaban. Los resultados son: x 1 = 37900 kilmetros. s1 = 5100kilmetros. x 2 = 39800 kilmetros. s2 = 5900 kilmetros.Marca A:Marca B:Prueba la hiptesis de que no hay diferencias en las dosmarcas de llantas con un nivel de significancia de 0.05. Supongaque las poblaciones se distribuyen de forma aproximadamente normalcon varianzas iguales. b) Ref. Pg. 340 Ej.9 Con referencia alejercicio 18 de la pgina 327, pruebe la hiptesis de que 1 = 2contra la alternativa de que 1 2.82 f 10 minutos.Nivel de significancia5480= = 0.1Incgnita: Rechazoo No Rechazo de la hiptesis nula. Solucin:t=(X2 X1 ) ( 2 1 ) 2 s 2s1 2 + n 2 n1con nuestros datos:t=(110 97.4) (10 ) 913.24 78.67 + 75Si t 2, 4.53 f 0.25.Nivel designificancia = 0.05Incgnita: Rechazo o No Rechazo de la hiptesisnula. Solucin: Rechazamos H0 si Z 1.34 ) = 1 ( Z 1.34 ) = 1 0.909 = 0.091 = 9.1%Respuesta: Norechazamos la hiptesis nula ya que no hay suficiente evidencia paraconcluir que P> 0.25.Lafata Desio Fernando, Warlet IvnLautaroPgina 67 de 104 68. Ctedra: Probabilidad y EstadsticaUADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Problema 44 (Ref: Pg. 335 Ej.9) En un estudio para estimar la proporcin de residentes de ciertaciudad y sus suburbios que estn a favor de la construccin de unaplanta de energa nuclear, se encuentra que 63 de 100 residentesurbanos estn a favor de la construccin mientras que solo 59 de 125residentes suburbanos la favorecen. Hay una diferenciasignificativa entre la proporcin de residentes urbanos y suburbanosque favorecen la construccin de la planta nuclear?. Use un valor P.Datos: P1 : residentes urbanos de cierta ciudad. P2 : residentessuburbanos de cierta ciudad. p1 : proporcin de residentes urbanos afavor de la construccin de una planta de energa nuclear. p2 :proporcin de residentes suburbanos a favor de la construccin de unaplanta de energa nuclear. Tamao de la primer muestra n1 = 100residentes urbanos. Tamao de la segunda muestra n2 = 125 residentessuburbanos. Cantidad de urbanos a favor x1 = 63 residentes urbanos.Cantidad de suburbanos a favor x2 = 59 residentes suburbanos. x 63p1 = 1 = = 0.63 Proporcin de urbanos a favor n 1 100x2 59 = = 0.472n 2 125 x + x2 63 + 59 122 p= 1 = = = 0.542 Combinacin de lasproporciones n 1 + n 2 100 + 125 225 Hiptesis nula H0: p1 = p2.Hiptesis alternativa H1: p1 p2. Proporcin de suburbanos a favor p2=Incgnita: Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula. Solucin:Utilizamos la aproximacin normalz=z= p1 p2 pq[ (1 n1 ) + (1 n2 ) ]0.63 0.472( 0.542)( 0.458) 1 1 + 100 125 =0.158( 0.542)( 0.458)(0.018)=0.158 0.0044=0.158 = 2.36 0.066P(z > 2.36 ) = 2* P(z >2.36) = 2*(1 0.9909) = 0.0182 = 1.82% Respuesta:Lafata DesioFernando, Warlet Ivn LautaroPgina 68 de 104 69. Ctedra:Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de2008Rechazamos la hiptesis nula ya que hay una probabilidad de queocurra del 1.82%. La proporcin de los residentes urbanos a favor dela construccin de una planta de energa nuclear es mayor que laproporcin de los residentes suburbanos a favor de la construccin dedicha planta.Problema 45 (Ref: Pg. 335/336 Ej. 10) En un estudiosobre la fertilidad de mujeres casadas por Martn O`Connell yCarolyn C. Rogers para la Oficina de Censos en 1979, seseleccionaron al azar dos grupos de esposas con edades de 25 a 29sin hijos y a cada mujer se le pregunt si planeaba tener un hijo.Se seleccion un grupo entre las mujeres con menos de dos aos decasadas y otro entre las que tenan cinco aos de casadas. Supongaque 240 de 300 con menos de dos aos de casadas planean tener algnda un hijo comparadas con 288 de las 400 con cinco aos de casadas.Podemos concluir que la proporcin de mujeres con menos de dos aosde casadas que planean tener hijos es significativamente ms altaque la proporcin con cinco aos de casadas?. Use un valor P. Datos:P1 : mujeres con menos de dos aos de casada. P2 : mujeres con cincoaos de casadas. p1 : proporcin de mujeres con menos de dos aos decasadas. p2 : proporcin de mujeres con cinco aos de casadas. Tamaode la primer muestra n1 = 300 mujeres con menos de dos aos decasadas. Tamao de la segunda muestra n2 = 400 mujeres con cinco aosde casadas. Cantidad con menos de dos aos de casadas x1 = 240mujeres. Cantidad con cinco aos de casadas x2 = 288 mujeres. x 240p1 = 1 = = 0.80 Proporcin con menos de dos aos n 1 300x 2 288 = =0.72 n 2 400 x + x 2 240 + 288 528 p= 1 = = = 0.754 n1 + n 2 300 +400 700 p2 =Proporcin con cinco aos Combinacin de lasproporcionesH0: p1 p2. H1: p1 > p2.Hiptesis nula HiptesisalternativaIncgnita: Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula.Solucin: Utilizamos la aproximacin normalz=z= p1 p2 pq[ (1 n1 ) +(1 n2 ) ] 0.80 0.72( 0.754)( 0.246) 1 1 + 300 400 Lafata DesioFernando, Warlet Ivn Lautaro=0.08( 0.754)( 0.246)( 0.0055)=0.080.00108199=0.08 2.44 0.032893616Pgina 69 de 104 70. Ctedra:Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008P(z> 2.44 ) = 1 P(z 2.44) = 1 0.9927 = 0.0073 = 0.73%. Respuesta:Rechazamos la hiptesis nula. La proporcin de mujeres con menos de 2aos de casadas que planean tener hijos es considerablemente ms altaque la proporcin de mujeres con 5 aos de casadas que planean tenerhijos. Problema 46 (Ref: Pg. 328 Ej. 24) Cinco muestras de unasustancia ferrosa se usan para determinar si hay una diferenciaentre un anlisis qumico de laboratorio y un anlisis defluorescencia de rayos X del contenido de hierro. Cada muestra sedivide en dos submuestras y se aplican los dos tipos de anlisis. Acontinuacin se presentan los datos codificados que muestran losanlisis de contenido de hierro: Muestra Anlisis Rayos X Qumico1 2,02,22 2,0 1,93 2,3 2,54 2,1 2,35 2,4 2,4Suponga que las poblacionesson normales, pruebe con un nivel de signficancia de 0.05 si losdos mtodos de anlisis dan, en promedio, el mismo resultado. Datos:Tamao de la muestran = 5 muestras.Hiptesis nula HiptesisalternativaH0: 1 = 2 . H1: 1 2.Nivel de significancia =0.05Incgnita: Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula. Solucin:Regin critica t 2.Nivel de significancia = 0.05Incgnita: Rechazo o No Rechazo de lahiptesis nula. Solucin: _d d 0 Donde t = s con v = n-1 grados delibertad d n Calculando: n d La media muestral _ i =1 i d= n LafataDesio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 72 de 104 73. Ctedra:Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de2008Kilmetros por litro Auto Llantas radiales Llantas con cinturn 14,2 4,1 2 4,7 4,9 3 6,6 6,2 4 7,0 6,9 5 6,7 6,8 6 4,5 4,4 7 5,7 5,78 6,0 5,8 9 7,4 6,9 10 4,9 4,7 11 6,1 6,0 12 5,2 4,9_d=di 0,1 -0,20,4 0,1 -0,1 0,1 0,0 0,2 0,5 0,2 0,1 0,3( 0.1) + ( 0.2) + ( 0.4) +( 0.1) + ( 0.1) + ( 0.1) + ( 0.0 ) + ( 0.2) + ( 0.5) + ( 0.2 ) + (0.1) + ( 0.3) 12= 0.1417 Kmla desviacin estndarn n n * d i2 - d i i=1 i =1 sd = n * ( n 1)2con nuestros datos: sd =12 * [ ( 0.67 ) ] -[1.7 ] 12 * (11)2=5.15 = 0.198 Km 132_d d 0 Calculamos t = s connuestros datos d nt=0.1417 = 2.48 0.198 12Y P = P(t> 2.48) =0.02 con 11 grados de libertadRespuesta: Rechazamos hiptesis nulaya que el nivel de significancia esta por encima del 0.02. LafataDesio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 73 de 104 74. Ctedra:Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de2008Problema 48 (Ref: Pg. 329 Ej. 26) En el ejercicio 2 de la pgina287, utilice la distribucin t para probar la hiptesis de que ladieta reduce el peso de una persona en 4.5 kilogramos en promediocontra la hiptesis alternativa de que la diferencia media en pesoes menor que 4.5 kilogramos. Utilice un valor P. Datos: Tamao de lamuestran = 7 mujeres.Hiptesis nula Hiptesis alternativaH0: 1 - 2 =4.5 Kilogramos H1: 1 - 2 0.896) = 0.3 con 6 gradosde libertadRespuesta: No rechazamos la hiptesis nula.Lafata DesioFernando, Warlet Ivn LautaroPgina 75 de 104 76. Ctedra:Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de2008Problema 49 (Ref: Pg. 329/330 Ej. 28) En un estudio realizadopor el Departamento de Nutricin Humana y Alimentos del InstitutoPolitcnico y Universidad Estatal de Virginia se registraron lossiguientes datos acerca de la comparacin de residuos de cidosrbico, en partes por milln, en jamn inmediatamente despus desumergirlo en una solucin de cido y despus de 60 das dealmacenamiento: Residuos de cido srbico en jamn Rebanada Antes delalmacenamiento Despus del almacenamiento 1 224 116 2 270 96 3 400239 4 444 329 5 590 437 6 660 597 7 1400 689 8 680 576 Si se suponeque las poblaciones se distribuyen normalmente, hay suficienteevidencia, al nivel de significancia de 0.05, para decir que laduracin del almacenamiento influye en las concentracionesresiduales de cido srbico? Datos: Tamao de la muestran = 8rebanadas.Hiptesis nula Hiptesis alternativaH0: 1 = 2. H1: 12.Nivel de significancia = 0.05Incgnita: Rechazo o No Rechazo de lahiptesis nula. Solucin: Regin critica t P(x = xi) =Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautarox = 0, 1, 2,3,....., n.Pgina 78 de 104 79. Ctedra: Probabilidad y EstadsticaUADERP(x = 0)= 5 8 3 03 (1) = = 0.1786 8 56 3Trabajo Final 6 deAgosto de 2008e0 = (112)*(0.01786) = 2.Lafata Desio Fernando,Warlet Ivn LautaroPgina 79 de 104 80. Ctedra: Probabilidad yEstadstica UADERP(x = 1)= 5 8 3 13 2(5)31 = = 0.2678 8 56 3TrabajoFinal 6 de Agosto de 2008e1 = (112)*(0.26786) = 30.Lafata DesioFernando, Warlet Ivn LautaroPgina 80 de 104 81. Ctedra:Probabilidad y Estadstica UADERP(x = 2)= 5 8 3 23 1(0)3 = = 0.53718 56 3Trabajo Final 6 de Agosto de 2008e2 = (112)*(0.53571) =60.Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 81 de 104 82.Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERP(x = 3)=I 5 8 3 3 0(1) = =0.1785 8 56 3Trabajo Final 6 de Agosto de 2008e3 = (112)*(0.17857)= 20.xiLafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroP(x = xi)ei =mpioij Pgina 82 de 104 83. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADER12 3 40 1 2 3Trabajo Final 6 de Agosto de 20080.01786 0.267860.53571 0.17857 1Totales2 30 60 20 1121 31 55 25 1121 23Combinamos las clases adyacentes, donde las frecuencias esperadasson menores que cinco. En consecuencia, el numero total deintervalos se reduce de cuatro a tres, lo que tiene como resultado= 2 grados de libertad. Utilizando el Teorema 10.1; que dice: Unaprueba de la bondad de ajuste entre las frecuencias observadas yesperadas se basa en la cantidad 2(n o i ei = i =1 ei)2Donde 2 esun valor de una variable aleatoria cuya distribucin muestral seaproxima muy de cerca con la distribucin ji cuadrada con = k1grados de libertad. Los smbolos oi y ei representan lasfrecuencias observada y esperada, respectivamente, para la i-simacelda.2 Con nuestros datos, el valor est dado entonces por2(n o iei = i =1 ei) 2 ( 32 32 ) 2 ( 55 60) 2 ( 25 20 ) 2 = + +326020=0+25 60+25 20= 1.6672 Para un nivel de significancia igual a, encontramos el valor crtico de la tabla A.5., y entonces 2 2 >constituye la regin critica. 2 Con el uso de la tabla A.5.,encontramos 0.05 = 5.991 con = 2 grados de libertad.Respuesta: 2Como 2 P(x = xi) = pqx-1,x = 1, 2, 3,.....Aplicando la distribucin hipergeomtrica a nuestrosdatos P(x = 1) = ( 0.5)( 0.5) 0 = ( 0.5)(1) = 0.5e1 = (256)*(0.5) =128P(x = 2) = ( 0.5)( 0.5)1 = ( 0.5)( 0.5) = 0.25e2 = (256)*(0.25)= 64P(x = 3) = ( 0.5)( 0.5) 2 = ( 0.5)( 0.25) = 0.125e3 =(256)*(0.125) = 32P(x = 4) = ( 0.5)( 0.5) 3 = ( 0.5)( 0.125) =0.0625e4 = (256)*(0.0625) = 16P(x = 5) = ( 0.5)( 0.5) 4 = ( 0.5)(0.0625) = 0.03125e5 = (256)*(0.03125) = 8P(x = 6) = ( 0.5)( 0.5) 5= ( 0.5)( 0.03125) = 0.15625e6 = (256)*(0.15625) = 4P(x = 7) = (0.5)( 0.5) 6 = ( 0.5)( 0.15625) = 0.0078125e7 = (256)*(0.0078125) =2P(x = 8) = ( 0.5)( 0.5) 7 = ( 0.5)( 0.0078125) = 0.00390625e8 =(256)*(0.0078125) = 2i 1 2 3 4 5 6 7xi 1 2 3 4 5 6 7Lafata DesioFernando, Warlet Ivn LautaroP(x = xi) 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.031250.015625 0.0078125ei = mpi 128 64 32 16 8 4 2oi 136 60 34 12 9 1 3j1 2 3 4 5 6 Pgina 84 de 104 85. Ctedra: Probabilidad y EstadsticaUADER88Trabajo Final 6 de Agosto de 20080.00390625 1Totales2 2561256Combinamos las clases adyacentes, donde las frecuenciasesperadas son menores que cinco. En consecuencia, el numero totalde intervalos se reduce de ocho a seis, lo que tiene como resultado= 5 grados de libertad. 2 Con nuestros datos el valor est dadoentonces por2(n oi ei = i =1 ei) 2 (136 128) 2 ( 60 64) 2 ( 34 32 )2 (12 16 ) 2 ( 9 8) 2 ( 5 8) 2 = + + + + + 12864321688=64 128+1664+4 32+16 16+2 Para un nivel de significancia igual a ,encontramos el valor critico de la tabla A.5., y entonces 2 2 >constituye la regin critica. 2 Con el uso de la tabla A.5.,encontramos 0.05 = 11.070 con = 5 grados de libertad.Respuesta: 2Como 2
Solucionario Probabilidad Y Estadistica Walpole 6 Edicion
2ff7e9595c
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